Hallo, weiter geht es mit der Differenzierbarkeit von Funktionen von Rn nach R.

Und dazu beginnen wir mit dem Begriff der partiellen Ableitung.

Bei Skalarwertungen, also bei Funktionen von R nach R, da hatten wir kein Problem, da gab es noch eine Variable, also nur eine Ableitung und so weiter.

Wenn wir aber eine Funktion von mehreren Variaten haben, dann müssen wir uns quasi überlegen, nach welcher Variable leiden wir gleich ab.

Und das führt zum Begriff der partiellen Ableitung.

Das sieht alles ein bisschen technisch aus, aber eigentlich ist das, was dahintersteckt, ganz einfach.

Nämlich die partielle Ableitung von einer Funktion f, die auf D definiert ist und nach R geht, also das ist eine reellwertige Funktion.

Das ist der folgende Grenzwert, nämlich f von dem Punkt, in dem wir die Ableitung bestimmen wollen, plus h mal den Einheitsvektor mit 1 an der i-ten Stelle,

minus f von einer Stelle, wo wir einsetzen wollen, durch h.

Und das ist dann die i-te partielle Ableitung, oder die partielle Ableitung von f nach x i an der Stelle x Stern.

Also das sieht dann so aus, wir setzen hier x Stern 1, x Stern 2 und so weiter, x Stern i-1 ein, dann x Stern i plus h,

weil h mal 1 an der i-ten Stelle, dann die anderen x Sternen Komponenten.

Wir ziehen davon f von x Stern 1 bis f von x Stern n ein, ziehen das davon ab und dividieren durch h.

Und wenn alle partiellen Ableitungen von f an der Stelle x Stern existieren, dann nennen wir f dort partiell differenzierbar.

Und wir nennen eine Funktion grundsätzlich partiell differenzierbar, wenn f an allen Stellen differenzierbar ist, also partiell differenzierbar ist.

Es gibt verschiedene Notationen dafür, dieses del f durch del x i an der Stelle x Stern, oder einfach nur del und unten x i von f an der Stelle x Stern.

Oder man lässt das x weg und sagt einfach nur die i-te partielle Ableitung, del i und so weiter, oder f mit so einem x i unten dran, den x Stern.

Also ich benutze typischerweise die ersten 3, je nachdem was kürzer ist, die hier nicht so gerne.

Vor allem nicht immer über Funktionenfolgen nachdenken, dann ist hier vielleicht noch ein Index von der Funktionfolge und so weiter.

Aber es ist durchaus eine Notation, die man ab und zu sieht.

Dieses del ist reserviert für solche partielle Ableitungen, also Funktionen von Rn nach R.

Das d, das wir davor hatten, das ist eben für Funktionen, die von einer Dimension, also von einem eindimensionalen Definitionsbereich nach R gehen.

Und wenn man jetzt diese ganzen partiellen Ableitungen nimmt und die sammelt, das sind alles wieder reelle Funktionen.

Also wie soll man sich das vorstellen, dieses Objekt hier, del f nach del x i, das ist jetzt wieder eine Funktion von d nach R, also wieder eine Funktion von Rm nach R.

Weil wir sozusagen verschiedene x Sternpunkte einsetzen können.

Wenn wir hier x Stern einsetzen, kommt was raus, was realwertig ist.

Und jetzt können wir diese ganzen partiellen Ableitungen sammeln in so einem Vektor mit n Komponenten.

N ist jetzt die Anzahl der Komponenten, die x Stern hat.

Und dann gibt es uns einen Vektor Rn.

Also für jeden Punkt x Stern kriegen wir so einen Vektor.

Und dieser Vektor heißt Gradient.

Wobei der Gradient, dieses Symbol, wird Navla ausgesprochen.

Also man kann es hier Gradient nennen oder Navla von f an der Stelle x Stern.

So, das ist jetzt hier die H-Methode zum Ableiten von einer Funktion.

Und wenn man das erkennt, dann ist es auch deutlich einfacher, mit diesem Vekten zu arbeiten.

Weil das ist einfach die Ableitung von der Funktion nach x Stern i, wenn man die anderen Komponenten als Konstanten festhält.

Also formal müssten wir jetzt hier in jeder von diesen Zeilen hier diesen Grenzwert ausrechnen.

Aber wir wissen ja, das ist ein Grenzwert, den wir kennen, nämlich eine Ableitung.

Das heißt, in der Praxis bestimmt man die Gradienten so, dass man diese partiellen Ableitungen so sich anschaut.

Alle xj für j ungleich i sind fest, sind konstanten.

Und man variiert hier in x i und leitet nur nach x i ab.

Machen wir das mal ganz konkret.

Das heißt hier nicht x i, sondern das sind x und y.

Das sind jetzt die Einträge und die Funktion sieht so aus.

Die Ableitung nach x, die partielle Ableitung nach x, ist jetzt, das ist dann die ganze Mahle Ableitung von dieser Funktion,

wenn man x als Variabel auffasst und y als Konstant auffasst.

Und was bedeutet dann hier?

Das hier Ableitung nach x ist 3x

und das hier abgeleitet nach x ist das Exponential hier einfach so, wie es dran steht und mal nachdifferenziert Ableitung von x 100 plus y nach x 100.

Das ist jetzt die Ableitung nach x.